História da Trigonometria

Olá leitor!

Na primeira postagem desse blog, vocês ficaram sabendo que Hiparco de Nicéia, chamado de "pai da Trigonometria", era também astrônomo e puderam observar um problema que faz uma ligação entre a Trigonometria e a Astronomia. Para que você se aprofunde um pouco mais sobre o assunto, aproveite na lista do blog ao lado de links relacionados:

• História da Trigonometria (Wikipédia);
• Hiparco (Wikipédia);
• História das funções trigonométricas;
• História da trigonometria (IME - USP - SP);

Bons estudos!

A Trigonometria é um dos ramos mais versáteis da Matemática. Já ajudou a prever eclipses, estimar equinócios, estabelecer calendários, fornecer dados à navegação e calcular distâncias inacessíveis. Ao longo do tempo a Trigonometria tem vindo a alargar os seus campos de aplicação: Náutica, Telecomunicações, Informática, Engenharias, Música, Medicina, Topografia, Metalurgia, Fenômenos Periódicos (vibração do som, fluxo da corrente alternada), a Geodésia, a transmissão de Rádio de longo alcance, entre muitas outras. O estudo da Trigonometria é indispensável para engenheiros, físicos, informáticos e praticamente todos os cientistas. No link http://www.slideshare.net/guest07bf04/a-trigonometria-na-linha-do-tempo você poderá ver um pouco da história da Trigonometria.

Construção do ciclo trigonométrico no GeoGebra

Olá leitores!
Em postagem anterior, dei dicas de como construir o ciclo trigonométrico no software de geometria dinâmica Régua e Compasso (ReC). Dessa vez, fiz um vídeo onde faço passo a passo essa construção, só que agora no software de geometria dinâmica GeoGebra. Caso não possua ainda o software e queira baixá-lo, use o link do nosso blog “Site para download do GeoGebra”.
Através da construção do ciclo trigonométrico e da interação com a mesma, podemos compreender vários conceitos com relação ao seno, cosseno e a tangente dos ângulos. Espero que gostem e aproveitem!

TRIGONOMETRIA - DISTÂNCIAS INACESSÍVEIS

Diz-se muitas vezes que a trigonometria chama-se "ciência indireta" pois permite calcular distâncias e ângulos que não se podem medir diretamente.
Por isto ela é aplicada na navegação, na construção, na física, na astronomia, etc.
Deste modo, o estudo das razões trigonométricas são utilizadas para resolver problemas da vida real como, por exemplo, a determinação de distâncias e locais inacessíveis.
Com as tarefas que nos foram propostas proporcionou-se um desenvolvimento de capacidades de comunicação e de resolução de problemas.

Tivemos a oportunidade de interpretar e aplicar os seus conhecimentos a situações problemas.
Vamos conhecer alguns deles acessando :

Visitem!!!!

http://www.4shared.com/file/112521144/68d96b78/IE_2.html

A Trigonometria (trigono = triangular; metria = medida) teve origem no estudo das
relações entre as medidas dos lados e dos ângulos de um triângulo e, em particular, do triângulo retângulo. Serviu desde os antigos babilônios, até pouco antes de Descartes, de instrumento puramente prático de agrimensura, astronomia e navegação. Freqüentemente necessitava-se calcular distâncias que não podiam ser medidas com a régua ou com a trena.A Trigonometria tornava isso possível pela simples aplicação de certas regras básicas sobre as relações entre os lados e os ângulos de qualquer triângulo. Hoje em dia, as três relações mais usadas dizem respeito ao triângulo retângulo e são chamadas seno, cosseno e tangente.
As relações representadas pelo seno, cosseno e tangente de um ângulo têm valor variável conforme a abertura do ângulo. Os gregos calcularam alguns desses valores, dispondo-os em tábuas trigonométricas que os matemáticos posteriores melhoraram e ampliaram. Você poderá ver no link http://www.slideshare.net/Edna.Alves/trigonometria-retangulo11 um resumo sobre as relações entre os lados e os ângulos no triângulo retângulo e valores do seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis.

Gráficos das funções trigonométricas e o ciclo trigonométrico

Olá, mais uma vez! Você gostaria de compreender um pouco mais sobre ângulos em graus e radianos e gráficos das funções seno, cosseno e tangente? Construí um ciclo trigonométrico, desta vez, através do software de geometria dinâmica GeoGebra. No link http://www.4shared.com/file/112078404/ef5b3dde/Ciclo_trigonomtrico_e_grficos.html, você poderá baixar uma pasta “zipada” com dois arquivos: um html e outro ggb, ambos gerados pelo software GeoGebra. Após baixá-los, descompacte a pasta e abra o arquivo html. Caso não possua software para descompactar arquivos, sugiro que baixe o WinRAR disponível em http://www.baixaki.com.br/download/winRAR.htm. Não é necessário ter o software GeoGebra instalado para interagir com o ciclo trigonométrico, mas caso o queira para fazer outras construções, há um link ao lado neste blog: “Site para download do GeoGebra”.

Após abrir o arquivo html, você poderá observar no canto superior esquerdo várias informações: valores dos ângulos em graus e em radianos, valores do seno, do cosseno e da tangente dos ângulos, bem como os gráficos que estão prontos para serem selecionados e estudados separadamente ou não. Optando pelo gráfico do seno, por exemplo, você observará uma reta paralela ao eixo x que indica a variação dos valores de y, ou seja, dos valores de senos dos ângulos. Sempre estará visível a reta paralela ao eixo y que representa os valores dos ângulos em radianos. A interseção dessas duas retas resulta no ponto do gráfico com as citadas abscissas e ordenadas. Ao movimentar a abertura do ângulo através do ponto de interseção entre a reta de abertura do ângulo e o círculo, você poderá visualizar o ponto desenhando o gráfico para o intervalo de 0° a 360°. A continuação do gráfico para a direita indica ângulos maiores de 360°, ou com mais de uma volta. A continuação do gráfico para a esquerda indica ângulos negativos, como se abríssemos o ângulo no sentido horário.
Analogamente vocês observarão a mesma idéia para os gráficos do cosseno e da tangente.
Ah! Uma outra dica é que se você quiser abrir os ângulos exatamente em 90°, 180°, 270° ou 0°, você deve direcionar o mouse bem sobre o ponto no ciclo trigonométrico. De outra forma, os ângulos não aparecem exatos, redondos...
Espero que gostem...

Tangente no ciclo trigonométrico

Pessoal, na postagem anterior falei sobre como construir um ciclo trigonométrico num software de geometria dinâmica. O vídeo exemplifica como ficaria a construção final:

O ciclo trigonométrico e os softwares de geometria dinâmica.

Quer entender melhor como funciona um ciclo trigonométrico?
Através do uso de softwares de geometria dinâmica como o ReC (Régua e Compasso), GeoGebra e Cabri Gèométre, isso é possível...
Darei aqui, as dicas para se construir um ciclo trigonométrico no ReC.
Com o software pronto, você precisará das ferramentas: "Exibir grade", "Círculo" para construir o círculo de raio 1 com centro na origem dos eixos, "Reta" para abertura do ângulo, "Ângulo" que deverá ser editado para que se use ângulo maior de 180º, isso é feito na caixa "Editar Ângulo" ao clicarmos com o botão inverso do mouse sobre o ângulo e escolhendo a última opção para tamanho de ângulo. Continuando, você deverá utilizar retas paralelas aos eixos que passem pela interseção da reta de abertura do ângulo com o círculo de modo a cruzarem os eixos em senos e cossenos dos respectivos ângulos. Nesses pontos deixamos visíveis as coordenadas para que possamos visualizar os valores de seno e cosseno. Através de uma reta paralela ao eixo y e tangente ao círculo você encontrará os valores das tangentes na medida da interseção dessa última reta com a reta de abertura do ângulo. Devido à falta de exatidão nas casas decimais, é preferível deixar a opção "Alterar algarismos decimais" para uma ou duas casas apenas. Assim, você poderá verificar que seno de 180º é 0, por exemplo.

Ao finalizar, verifique os valores de seno, cosseno e tangente de ângulos como 0º, 90º, 180º, 270º e 360º movimentando o ponto de interseção da reta de abertura com o círculo, e ainda, compare as relações dos ângulos de 30º e 60º que observou no objeto de aprendizagem do Rived.

Para melhor compreensão da construção, assita também o vídeo a seguir:

Vídeo disponível também em: http://www.youtube.com/watch?v=RhAG0OqCxqk

Relações trigonométricas no triângulo retângulo

Olá!

Para complementarmos o nosso conhecimento sobre a postagem anterior, a descoberta das relações trigonométricas no triângulo retângulo no problema de Hiparco de Nicéia, convido vocês a entrarem no quarto link relacionado deste blog: "Relações trigonométricas no triângulo retângulo (Rived)".
Lá vocês encontrarão um objeto de aprendizagem do Rived que nos mostra o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos de 30º e 60º. Encontrei esse objeto após muito "fuçar" internet a fora, e percebi que ele parece não ter sido terminado. Porém, ainda assim, é muito útil para a compreensão desses conceitos.
Confiram!

Ah! Caso queiram conhecer outros objetos de aprendizagem de diversas disciplinas conheçam o site Rived - Rede Interativa Virtual de Educação. Também acrescentei o link em nossa relação...

Construindo o problema de Hiparco...

Olá pessoal!
A imagem que vocês puderam visualizar na postagem anterior sobre o problema de Hiparco, pode ser construída por vocês em softwares de geometria dinâmica, tais como, ReC - Régua e Compasso, GeoGebra e Cabri Géomètre. Segue nesta, um passo-a-passo da construção no ReC. No final vocês constatarão o que Hiparco descobriu, vejam como é fácil:

• Desabilite os eixos coordenados clicando no botão "Exibir grade";
• Comece traçando uma reta horizontal;
• Marque um ponto sobre a reta (ponto C) e trace uma perpendicular passando pelo ponto inserido.
• Representando a Terra, utilize o botão "Círculo" na construção da circunferência de centro num ponto da segunda reta construída (ponto A) e um de seus pontos na interseção das duas retas em C. Isso garantirá que a reta horizontal tangencie a circunferência em C;
• Marque um segundo ponto na reta horizontal (ponto B) e construa uma nova reta que passe por esse ponto e pelo centro da circunferência em A;
• Marque a interseção dessa reta com a circunferência, nomeando o ponto como E.
• A partir daí, pode-se marcar os segmentos AB, BC e AC e ocultar as duas últimas retas construídas, podendo-se visualizar apenas a reta horizontal e o triângulo ABC;
• Através do botão "Ângulo", marca-se os três ângulos internos do triângulo, onde podemos observar que o ângulo C mede 90º (Você sabe dizer por quê?)
• A seguir, construa uma reta paralela à reta que passa por BC e marque as interseções com o lado AC e AB, respectivamente em C' e B';
• Marque os ângulos internos B' e C';
• Observe o novo triângulo formado AB'C', movimente o ponto C' e verifique que os dois triângulos são semelhantes.
• Finalmente, através do recurso "Expressão Aritmética", faça o cálculo das razões AC/AB e AC'/AB' bem como o cálculo do cosseno do ângulo Â.

Percebeu que os três valores são um só? Você acabou de descobrir a razão trigonométrica no triângulo retângulo. Teste também as outras duas razões e conheça o seno e a tangente de um ângulo.

Para compreender ainda melhor essa construção assista o vídeo com o que acabei de descrever:

Vídeo também disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=QrYF_CBtQM4

"Pai da Trigonometria"

Observe a imagem ao lado... O que ela nos quer dizer? Vemos um homem observando o céu com um instrumento próprio. É Hiparco de Nicéia, (190 - 126 a. C.). Ele que foi astrônomo, construtor, cartógrafo e matemático grego da escola de Alexandria nascido em 190 a.C. em Nicéia, na Bitínia, hoje Iznik, na Turquia. Hoje é considerado o fundador da astronomia científica e também chamado de pai da trigonometria por ter sido o pioneiro na elaboração de uma tabela trigonométrica, com valores de uma série de ângulos, utilizando a idéia pioneira de Hipsicles (180 a. C.), herdada dos babilônios, da divisão do círculo em 360 partes iguais (140 a. C.) e a divisão do grau em sessenta minutos de sessenta segundos.
Mas o que será que a astronomia e a trigonometria tem em comum?

"Hiparco adotava para o raio da Terra o valor de 8 800 km (o raio terrestre mede cerca de 6378 km). De posse desse valor, Hiparco tentou achar a distância da Terra à Lua da maneira descrita a seguir.
Suponhamos que a Lua seja observada de dois pontos C e E, conforme mostra a figura a seguir...

Quando estiver diretamente sobre o ponto E, um observador em C vê a Lua nascer no horizonte. Conhecendo a localização dos pontos C e E, Hiparco estimou a medida do ângulo Â. Como a distância AC é igual ao raio da Terra, o problema de Hiparco era o seguinte: conhecidos um dos lados (8 800 km) de um triângulo retângulo e um de seus ângulos (Â), determinar a hipotenusa AB. Tal problema pode ser resolvido se observarmos que em triângulos retângulos semelhantes, as razões, constantes, entre as medidas dos seus lados podem ser associadas aos seus ângulos. Estas razões são chamadas razões trigonométricas. Hiparco organizou diversas tabelas relacionando razões trigonométricas com ângulos.”

Para verificar o projeto que deu origem a este blog visite: http://www.slideshare.net/liege.conrado/grupo-4-lea-mos-obra